刘徽与《九章算术》《海岛算经》简介
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刘徽与《九章算术》《海岛算经》简介
《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种。魏晋的刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”。《九章算术》成书于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。
《九章算术》文字十分简略，难以读懂，没有给出算法推导和证明，刘徽的作注，使之有了较大的改善。
古代九数
《周礼》（世传为周公旦所著，但实际上作者及成书日不确，今天多数学者认为：《周礼》成书于战国时期乃至于汉初）的“九数”指的是《周礼·地官司徒·保氏》所言：“保氏掌谏王恶而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。”这就是古代教育必须学习的礼、乐、射、御、书、数六门功课，“九数”是指“数”学这门功课有九个细目。关于“九数”的细目，《周礼》并没有列出。东汉的郑玄在他的《周礼注疏·地官司徒·保氏》中引郑司农（郑众）所言：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。”东汉一些数学家用“衰[cuī]分”代替“差分”，用“勾股”代替“旁要”。“夕桀”不知所指，一说借圆形来测量的测量术。
海岛算经
《海岛算经》本来亦不是一部独立的著作，只是刘徽为了解释“重差术”而附在《九章算术》中《勾股》章之后的一卷，名为《重差》（所谓“重差”,是测量方法,“重”字是重复的意思,读chóng;“差”是两表日影长度相减），直至唐代初年，这一部分才被人从《九章算术》抽出来独立成书，因第一题是测量有关海岛的高度及距离的问题，而把它命名为《海岛算经》。现传版本的《海岛算经》是清初编辑《四库全书》时戴震从《永乐大典》中重新抄录出来，但只剩下九个问题。
海岛算经第一个问题
今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？
答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。
术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。
（“术曰”这段话的意思，参见后面的“我国古代测高重差公式和测远重差公式的证明”部分）
用现代语言改写如下：
如下图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1 000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步=6尺，1里=180丈=1 800尺=300步）
现代常用解法如下：
还有其它解法，就不介绍了。下面介绍古代的求解公式。
我国古代测高重差公式和测远重差公式的证明
上面公式是如何得到的，刘徽的《海岛算经》中没有说明，下面证明是后人补加的。证明用到的关于矩形的一个重要性质：
法一、在图1的基础上做如下图形（图2）
法二、
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数学家刘徽的故事
数学竞赛
于 2017-11-22 11:17:45 发布
文章标签： 数学家刘徽的故事 数学家刘徽 刘徽的故事
刘徽——中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的数学遗产。
他的主要著作有《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷。可惜后两种都在宋代失传。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。
但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等。
刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提，他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。
刘徽的这一生都在为数学刻苦探求。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
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