人类数学永远无法触及的奥秘——质数分布和质数螺旋！

评论：

关于素数定理和黎曼猜想，

我就知道有人会提这个呢，你是第一个质疑的[大笑][大笑][大笑]黎曼猜想，在我另外四篇文章中[思考]有详细介绍呢[大笑]无论是黎曼猜想，还是素数定理，都只是说明了素数分布受到某些限制，但看不出任何规律，而质数螺旋，才是质数非随机规律的第一个发现，所以这篇文章我才会那样子说呢[思考][思考][思考]

网上能收到一些质数螺旋规律的文章，都是数论很深的知识

极坐标表示 5000 到 50000 之间的素数为什么会形成一条斐波那契螺旋线？ 链接

2013年，张益博发表了一篇《素数间的有界距离》的论文，证明了孪生素数猜想的弱形式，解开了困扰两个世纪的难题，他一夜之间又成为数学界的名人。凭这篇论文，张益博获得罗夫肖克数学奖、麦克阿瑟天才奖等各大奖项。

数学家，张益唐：素数间的有界距离

   接受《纽约客》专访时，张益唐59岁。仅仅两年前，他不过是个美国非一流大学的普通讲师，只发表过两篇论文，没有研究经费，曾有近十年的时间找不到学术职位，“流浪”美国各州，不时借住朋友家安身。

    2013年5月，他因出色地证明了一个关于素数分布的“里程碑式的定理”而蜚声全球。英国著名数学家哈代说，数学比起其他技艺和科学来，更像是“年轻人的游戏”，没有哪一个重大成就是50岁之后提出来的。然而张益唐用天才般的工作证明：年龄、职位、论文统统不是登顶的“标配”。

    张益唐证明了什么

    张益唐所做的工作通常被称作“素数间的有界距离”，是“孪生素数”猜想证明的弱形式。

    所谓“素数”，又称“质数”，是指只能被1和它本身整除的数字，例如：2、3、5、7等等。但随着数字增大，素数在数轴上的分布越来越稀疏。想像一条数轴，普通数字是绿色的，素数是红色的。轴线开始时有许多红色的数字：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43和47，它们都是小于50的素数。在1-100之间有25个素数，1到1000之间有168个素数，1到100万之间有78498个素数。素数越来越大时，它们变得越来越稀少，素数与素数间的平均距离越来越大。那么，相邻两个素数之间的距离是否是有限的呢？特别是当数字趋于无穷大时，一个数字的位数之多需要一本书的厚度才能写下，此时是否还能找到相邻的两个素数呢？

    没有一个方程式可以预言素数的分布特征——它们看起来非常随机。欧几里得在公元前300年证明存在无穷多个素数，但并没有证明两个素数之间的距离可能是多远。他曾大胆猜想：存在无穷多对之差为2的素数。由于人们把这种素数对称为“孪生素数”，如（3,5），（11,13），因此这一猜想被称作“孪生素数猜想”。

    1849年，法国数学家阿尔方?波利尼亚克提出了更一般的猜想（即“波利尼亚克猜想”）：对所有正整数k，存在无穷多个素数对（p，p+2k）。k=1时就是孪生素数猜想，而k等于其他正整数时就称为弱孪生素数猜想。

    1900年，德国数学家大卫?希尔伯特在巴黎举行的第2届国际数学家大会上发表题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是19世纪数学的研究成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题（通称“希尔伯特问题”）；孪生素数猜想是希尔伯特问题的第8个的一部分（和“孪生素数猜想”一起被提出的，是著名的“哥德巴赫猜想”和“黎曼猜想”）。

    张益唐的论文《素数间的有界距离》就是“孪生素数猜想”的弱化版，他证明了在数字趋于无穷大的过程中，存在无穷多个之差小于7000万的素数对。

    此前最接近证明孪生素数猜想的一次努力，是圣何塞州立大学的教授丹尼尔?戈德斯通（Daniel Goldston）、布达佩斯 阿尔弗雷德?莱利（Alfréd Rényi）数学研究所研究员平兹（János Pintz）和伊斯坦布尔海峡大学的伊尔迪里姆（Cem Yildirim）教授于2005年共同开展的一项工作。不过，一直到2011年，关于孪生素数猜想的研究仍没有取得任何进展。Goldston认为，他在有生之年可能都看不到答案，“我曾以为解开这个难题是不可能的了。”

    尽管张益唐得到的7000万这个结果看起来与2还有很大差距，但国际数学界公认这是一项伟大的成就。英国《自然》杂志称张益唐的工作为一个“重要的里程碑”。美国数学家丹尼尔?戈德斯坦说：“从7000万到2的距离相比从无穷大到7000万的距离来说是微不足道的。”他认为，每缩小一段范围，都是在获得终极答案（k=1）道路上的一个脚印。

    “你必须想像这完全是从无到有，”麻省大学波士顿分校的数学系主任埃里克?格林贝格（Eric Grinberg）说。“我们确实不知道。这就像我们以为宇宙无限大，没有界限，却发现它在某个地方存在终点。”想象有一把度量绿色与红色数字的尺子。张益唐选择了一把长度为7000万的尺子，因为这么大的数字更容易证明他的猜想。（如果他已能证明孪生素数猜想，这把尺子的长度就是2。）我们可以拿这把尺子沿数轴移动，无数次地将两个素数圈起来。但圈住无穷多个数不一定就是圈住了所有的数，因为有一些情况，比如有无穷多个数是偶数，但还有无穷多个数是奇数。同样道理，这把尺子也能沿着数轴移动无数次时，但圈不到两个素数。

    从张益唐的结果来看，他的推导是成立的，存在无穷多个之差小于7000万的素数对。接受《纽约客》采访的一位数学家解释说，这是根据鸽巢原理推出的。假设有7000万个鸽巢和无穷多只鸽子，每只鸽子代表一个素数对。把之差为2的素数对（鸽子）放进一个鸽巢，之差为3的放进另一个鸽巢，以此类推，把所有间隔不同的素数对（鸽子）都放进一个鸽巢。最后，会有放了无穷多只鸽子的鸽巢，但无法知道具体是哪一个鸽巢有无穷多只鸽子，不过至少有一个鸽巢里有无穷多只鸽子。

    被震惊的《数学年刊》

    2012年底，张益唐完成了论文《素数间的有界距离》（“Bounded Gaps Between Primes”），并开展了几个月“枯燥”的系统性检查。2013年4月17日，没有告诉任何人，张益唐将论文投给世界数学界最负声誉的《数学年刊》。在此之前，张益唐唯一发表过的论文就是2001年在《杜克数学学报》上发表的关于黎曼猜想的论文，和一篇1985年在中国读书期间发在国内《数学学报》上的文章，而其关于“雅可比猜想”的博士论文则由于涉及的引理不能确认正确而没有发表。

    《数学年刊》保留有很多未发表的论文，它们都声称解决了人们能够想到的每一个数学难题，以及并不存在的问题。其中一些作者“知道很多数学知识，然后变得癫狂了。”一位数学家说，这些人常常声称，其他人解决数学难题的努力都是错误的；或宣布他们一次解决了好几个难题，或声称利用物理学的统一场论解决了一个著名难题。诸如像《数学年刊》这样的期刊总是对那些从未听说过的投稿人的成果持怀疑态度。

    2013年，《数学年刊》收到950篇论文，接受37篇。接受与出版之间的等待通常是一年左右。收到一篇论文时，“要快速浏览，找有价值的看，” 普林斯顿大学教授、《数学年刊》的编辑尼古拉斯.卡茨（Nicholas Katz）说，然后才是花上几个月的细读。“我没法随随便便评价这篇论文，我的任务是知道问谁。”Katz说，“在这种情况下，对方很快回信说，‘如果这是正确的，那真的太棒了。但你得小心点。这家伙曾贴出过一次论文，而且是错的。他从未发表它，但也没把它撤下。”这位审稿人指的是张益唐曾在2007年于arxiv.org网站上贴出来的一篇论文。在把论文交给正式期刊发表前，数学家通常将论文贴在这个网站上，以便让别人更快看到。张益唐贴出的这篇论文，当时未能达成证明。这篇论文涉及另外一个著名问题——Landau-Siegel零点猜想，张益唐把这篇文章留在arxiv上就是希望有人能修正它。

    卡茨将《素数间的有界距离》寄送给两位审稿人。其中一位是解析数论大师，格罗斯大学的数学教授伊万尼克。“我粗略看了几分钟，”伊万尼克说，“第一印象是：有太多的错误判断。我还有其他工作要做，或许可以推迟评审。要知道他可是个寂寂无名的家伙。然后我接到一个朋友的电话，他正好也在阅读这篇论文。我们本来要在普林斯顿高等研究院（IAS）待上一周做些其他的工作，但审阅这篇论文打断了我们的计划。”

    伊万尼克和多伦多大学的教授约翰.弗里德兰德（John Friedlander）开始更加专注地阅读这篇论文。“这种情况下，你不能从头读到尾，”伊万尼克说，“首先要看它的要点在哪。2005年以来就没人写这个问题的文章了。它太难了。但随着我们读得越来越多，我们发现这篇论文真的越来越可能是正确的。大概两天后，我们开始寻求论文的完整性，寻求每个环节之间的关联。几天后，我们开始逐行核对。此时这个工作就不好干了，我们要看看论文是不是全部正确。”

    几周后，伊万尼克和弗莱兰德写信给卡茨，“我们已经完成对张益唐所著论文《素数间的有界距离》的研究，”他们写道，“这项研究是一流的。作者成功证明了一个关于素数分布的里程碑式的定理。”同时，“尽管我们非常仔细地研究论文，我们也很难找到哪怕最小的错误…我们很高兴地强烈推荐贵刊接受并发表此论文。”

    当张益唐在办公室被问到当时是如何找到解开问题的钥匙的。他在黑板上写下：“Goldston-Pintz-Yildirim”和“Bombieri-Friedlander-Iwaniec”。他说：“第一篇论文是关于有界距离的，第二篇是关于在等差数列中的素数分布的。我把这两篇论文做了比较，加上我自己的创新，这些创新是基于我在图书馆多年阅读而来的。”

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张益唐上界是什么意思？我这个数学盲不懂。有很多人认为是素数之间的最大距离是7千万？这个怕不对吧？

自从张益唐发表他的七千万上界后，很多数学家开始试图压缩这个上界，其中主要有澳大利亚国立大学的Scott Morrison，加大洛杉矶分校的陶哲轩，麻省理工的Andew Sutherland。陶哲轩为此专门建立了一个Polymath（这是陶哲轩跟牛津的Timothy Gowers一直在大力提倡的网上合作进行数学研究的新理念）项目，还有专门的维基网页：michaelnielsen点org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes

在上面的网页上有个孪生素数间隙上界的进程表。虽然张益唐的文章才发表了三个星期，新的世界纪录已经把这个上界压缩到了388,188，荣誉属于麻省理工的Andrew Sutherland。当然这个记录每天都在更新中。

张益唐老师证明的是相差7000万的素数在自然数中有无穷多对。但这个素数之间的最小间隔是70000000（或者最新的388188）不是一个意思吧？

loonta 数据中心，结论，

根据元会运世的数域性质，

世：30=30，

运：30*12=360，

会：360*30=10800，

元：10800*12=129600，

在元会运世前后位置，出现素数的概念很高。

孪生素数出现在，30^n*12^m±1，大概率是素数。

（p，p+2）孪生素数有无数对，

9510,000,000(一千万)以内质数表

链接： 链接

素数与银河系，

孪生素数的证明

十年磨一剑

在博士毕业后，张益唐一直未能在学术界找到一份工作。为了生活，他不得不打工维持生计。从会计到三明治，他都做过。即使在他的同学帮助他，找到新罕布什尔大学的一份代课讲师工作后，即使在转正成为一名大受学生好评的讲师后，正式而言，他仍不是一名研究人员。

但数学无需官方认可，研究也不需要正式的职位。张益唐受过正式的数学研究训练，有扎实的功底，有充分的能力，知道怎么去做研究，心里也时刻揣着数学。即使没有正式的职位，他骨子里仍然是一位研究数学的学者。

2012年6月，张益唐到朋友家做客时灵光一闪，找到了思考了三年之久的开启素数间隔问题的关键性的突破。用新的方法，他证明了有无穷对素数，它们相差不过7000万。他将他的新方法与新结论，用简洁明了的语言，写成了一篇论文，投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。这篇论文名为Bounded gaps between primes（《素数间的有界间隔》）。

收到这篇论文的编辑想必十分意外。在一所不起眼的大学做着讲师的工作，在数学的研究共同体中也不活跃，之前一篇论文还是十多年前发表的，这样的一位默默无闻的数学家，突然声称自己解决了一个困扰众多学者几十年的问题，引起的第一反应自然是怀疑。但毕竟，数学证明就是他学识的证明，他的论文写得如此清楚明白，而所用的方法又是如此合情合理，这冲破了原有的一点点怀疑。编辑认为，张益唐的结论很可能是对的，而他的方法对于解析数论而言，也可能是个重要的进步。

因为很多数学证明都相当艰深晦涩，即使是同一个领域的专家，有时也要花上一大段时间来咀嚼揣摩，才能断定证明是否无误。所以，数学论文的审稿时间通常不短，少则数月，多则数年，期间匿名审稿人通常需要通过编辑与作者多次通信，才能决定一篇论文的命运。而张益唐的论文是如此激动人心，编辑认为他们等不起如此漫长的时间，于是对他的论文进行了“特殊对待”。他们请了筛法方面的大家Iwaniec教授与另一位匿名审稿人（可能是Goldston）来审核这篇论文，而且很快就有了回音。

两位审稿人都认为这篇文章没有明显的错误。实际上，评审报告中写着这样的评价：“论文的主要结果是第一流的”，“在素数分布领域的一个标志性的定理”。从论文寄出到审稿结束，仅仅花了三个星期的时间。

自此，消息不胫而走。在哈佛大学的丘成桐教授，知悉这个消息之后，很快邀请了张益唐来哈佛做关于他的工作的学术报告。消息很快在数学界与新闻界传开，张益唐几乎是一夜之间，从默默无闻变成举世知名。据说，他的妻子听说有记者要采访时，跟张益唐讲的第一件事，就是把发型整理一下。

作为励志故事，这个结尾再好不过了。

（关于孪生素数和张益唐的工作，请戳《孪生素数猜想，张益唐究竟做了一个什么研究？》）

路漫漫其修远兮

然而，之后的故事还要精彩。

在数学界中，对于久攻不下的问题，一旦有人打破一个缺口，其他人很快就会跟进，把缺口弄得更大。张益唐的结果也不例外。

在张益唐的论文中，他给出的结果是，存在无数对相邻素数，它们的差相差不过7000万。但这个7000万只是一个估计，并非张益唐的方法能得到的最好结果。在论文出炉后，一些数学家在吃透新方法后，开始试着改进7000万这个数据。

张益唐的论文在5月14号面世，两个星期后的5月28号，这个常数下降到了6000万。

仅仅过了两天的5月31号，下降到了4200万。

又过了三天的6月2号，则是1300万。

次日，500万。

6月5号，40万，不到原来的百分之一。

在笔者写下这行的今天，剩下的只有区区的25万。

这些结果可以说是互联网的结晶。这样快的改进速度，对于仅仅依靠一年发行数次的期刊做研究的时代，完全是不可想象的。而在今天，数学家们在网上，不停发布最新的思考和计算，以最高的速度，汇聚所有人的智慧，才能创造出如此奇观。

张益唐带来的影响不止于此。

利用他的新方法，可以解决更多的问题。Pintz指出，从张益唐的工具出发，可以得知存在一个常数C，使得对于每C个连续偶数，都存在无穷对相邻的素数，它们的差是这些偶数之一。也就是说，Polignac的猜想，起码对于1/C的偶数来说是正确的。所以，不仅素数本身难以捉摸，它们之间的差更是剧烈起伏不定。

实际上，大数学家Erdős在1955年就猜测，相邻两对素数差的比值，可以要多大有多大，要多小有多小。而同样借助张益唐的工具，Pintz不仅证明了这个猜想，而且证明了比值之差以不低的速度趋向于两极分化。用他本人的话来说：在刚刚过去的几个月里，一系列十年前会被认为是科幻小说的定理都被证明了。

但孪生素数猜想本身又如何呢？我们知道，如果将张益唐论文中的常数从7000万改进到2，就相当于证明孪生素数猜想。既然现在数学家们将常数改进得如此的快，那么我们是否已经很接近最终的目标呢？

很遗憾，实际上还差很远。

张益唐的方法，本质上还是筛法，而筛法的一大问题，是所谓的“奇偶性问题”。简单来说，如果一个集合中所有数都只有奇数个素因子，那么用传统的筛法无法有效估计这个集合至少有多少元素。而素数组成的集合，恰好属于这种类型。

正因如此，当陈景润做出哥德巴赫猜想的突破性结果（1 + 2）时，他得到的评价是“榨干了筛法的最后一滴油”。因为如果只靠筛法，是无法证明哥德巴赫猜想的。（1 + 2）是筛法所能做到的最好结果。

但数学家们从不固步自封。要想打破“奇偶性问题”的诅咒，可以将合适的新手段引入传统筛法，籍此补上筛法的缺陷。张益唐的出发点——之前提到Goldston，Pintz和Yildirim的结果——正是这种新思路的成果。但对于孪生素数猜想而言，这些进展仍然远远不够。学界认为，虽然不能断定张益唐的方法，即使经过改进，是否仍然不能解决孪生素数猜想，但可能性似乎微乎其微。

但不能低估人类的才智。发明割圆术的刘徽，他对于无知的态度更适合我们：

敢不阙疑，以俟能言者！

本文节选自《素数并不孤独》，文字部分略有修改。

资料来源： 链接

素数与宇宙时空的关系，

质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499.

100万以内的质数： 链接

1000万以内的质数： 链接

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