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割圆术
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中文名
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外文名
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cyclotomic method
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创始人
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刘徽
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学 科
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数学
目录
割圆术（cyclotomic method）
“圜，一中同长也”。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式。
“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。那么圆周率究竟是指什么呢？它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。很幸运，这是个不变的“常数”！我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。
根据“圆周长/圆直径=圆周率”，那么圆周长=圆直径*圆周率=2*半径*圆周率（这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由）。因此“圆周长公式”根本就不用背的，只要有小学知识，知道“圆周率的含义”，就可自行推导计算。也许大家都知道“圆周率和π”，但它的“含义及作用”往往被忽略，这也就是割圆术的意义所在。
由于“圆周率=圆周长/圆直径”，其中“直径”是直的，好测量；难计算精确的是“圆周长”。而通过刘徽的“割圆术”，这个难题解决了。只要认真、耐心地精算出圆周长，就可得出较为精确的“圆周率”了。——众所周知，在中国祖冲之最终完成了这个工作。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。
按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.1415和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率” ，另一个是“密率”.，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。
根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。同时，它与两个小黄三角形的面积和相等。刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积。
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十 ，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。
π=lim(n→∞）1/2*sin(360°/n)*n
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想，一个就是我们现在所讲的极限思想。那么第二步，更关键的一步，他把与圆周合体的这个正多边形，就是不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来，应该是圆面积的两倍。那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积。所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘半径而为圆幂。那么他的原话就是“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”。最后完全证明了圆面积公式， 证明了圆面积公式，也就证明了“周三径一”的不精确。随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序。在刘徽之前古希腊数学家阿基米德也曾研究过求解圆周率的问题。
刘徽所处的时代是社会上军阀割据，特别当时是魏、蜀、吴三国割据，那么在这个时候中国的社会、政治、经济发生了极大的变化，特别是思想界，文人学士们互相进行辩难，所以当时成为辩难之风，一帮文人学士找到一块，就像我们大专辩论会那样，一个正方一个反方，提出一个命题来大家互相辩论，在辩论的时候人们就要研究讨论关于辩论的技术，思维的规律，所以在这一段人们的思想解放，应该说是在春秋战国之后没有过的，这时人们对思维规律研究特别发达，有人认为这时人们的抽象思维能力远远超过春秋战国。 刘徽在《九章算术注》的自序中表明，把探究数学的根源，作为自己从事数学研究的最高任务。他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”。“析理”就是当时学者们互相辩难的代名词。刘徽通过析数学之理，建立了中国传统数学的理论体系。众所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系。然而，刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。
我知道天圆地方就是一个秀智商的梗，很可能这是一个误会
很多人，在否定古代科学文化哲学体系的时候，总是爱用一个论调来反对，天圆地方。
甚至，到了今天的梗文化如此发达，看到哪个爱说国学，爱说古代中国科学如何如何发达之类。
用“你眼中高智商的古人只知道天圆地方”，这真是一个梗，秀了自己的智商，还把古人开刷一把。
而那些热衷古代文化的人，要么一开始就给问住了，当场哑口无言；要么说一半，就开始结巴了，解释不清楚。
我们今天就从天圆地方这个最直接的表述说起啊。
我们以为，古人眼中地是方的，如下图：
就当古人就是这样理解大地的形状的。
古人观察到日月五星的运行，尤其是太阳和月亮，每天每月如此，从东向西的运转着。
于是，科技不发达，科技落后的古人，对天圆地方的天文模型基本，在我们的自认为中，形成这样一个雏形，如下图：
顺便说一下，古代的时候，人是知道地平线的概念的，并且准确测量，至少在鲁班的时代，建筑学就很发达，懂的建设高楼，要是不懂测准地平，那个房子一层楼都是建的歪歪斜斜的，农村里就有这样的古人。
既然知道地是方的，又是平的，那么上面这个天地模型，估计古人是想得出来的。
于是就出现了一些困惑，天是一个圆罩，把方形的大地罩住了，那么周围那些空缺去哪里了？
还有一个问题，从夸父追日的行为艺术加人肉实验结果来看，很明显方形的大地是和天盖是不相接的。
于是聪明的我们就开始思考了。
那是大海，那是太虚，反正不是大地。我们可以得出这样的天地图，如下：
为了方便理解，我们简化成下图，相信是没有问题的。
于是，大家就开始议论开了，会不会天地之间像一个亭子那样，有四条柱子支撑起来，上面一个大圆盖，这样就解决了天地不相接的问题，公元前一世纪成书的《周髀算经》中提出“天象盖笠、地法复盘”的新盖天说，认为天在上，地在下，天地相盖，二者都是圆拱形，中间相距八万里，日月星辰随天盖旋转，近见远不见，形成了昼夜四季变化。
也有人，认为太阳就从地平线上升起来的，生活在平原海边的古人，很显然观察到这一点。
这场争论，在周朝到汉朝这段时间，表现的异常激烈，也许是学术的开放程度吧。
反正，当时的争论当中，就没有听说过这样的话，比如：无知，无耻，不要脸，没有科学知识，迷信，听听西方大科学家怎么说的。
没有这些杂音，研究天文，不得罪人，皇帝自认为天子，敬天。
当这群我们认为智商不是太高的古人，争论到一定阶段的时候，就发现一个问题，就是日月在大之下的那个阶段去哪里了？
根据历法，伏羲黄帝的时代就已经知道春分秋分，那么日夜平分，这种自然现象显然是知道的。
好吧，这个天体图要改进一下了。有一个我们看得见的天盖，还有一个我们看不见的天盖。
为什么古代的人知道，第二天早上升起来的那个太阳，就是昨天傍晚下山的那个太阳呢？
其实古代的时候，也是傻傻分不清的。
于是有了后羿射日的故事，天上有十个太阳，给后裔射下来九个，就剩下一个。
有人就会说，这是神话，不是科学，对啊，我们只是在讨论古人那种低智商的世界观，他们眼中当然不知道什么是科学，什么是不科学。但是有一点是肯定的，他们已经知道，太阳只有一个，在天上地下，升起降落，钻过去，然后升上来。
很显然，古人的中国人是没有接受过日心说的教育，更不可能学习过人教版的中小学课本。
这个时候，顺着这种逻辑，出现一个问题，大地有没有厚度？有厚度的话，大地有多厚？
三四楼那么厚！
古人当然知道不止了，他们知道这个地很厚，秦始皇墓挖地，叫做穿三泉，什么叫做泉，就是地下河。
而古人知道的大地是有九泉，九泉之下有多深啊。
于是，古代的科学家，就开始推论出来，天地之间可能是这样子，（当然这一切都在我们高智商的假设基础上进行着。）
其实，这种推论至少在汉朝的时候就成熟了，为什么呢？请看一样高科技，浑天仪。
其实，很多学渣看到这个图是时候，就不会说古代的人智商低了。子午线，地球倾角，南北回归线，这些问题确定，高智商如你，都搞清楚了吗？
我们消化一下这个浑天仪中的大地是什么样子的，大概就像一块圆饼吧。大概就是下图这个样子吧。
我们还是继续之前的话题吧，就是古人虽然做出浑天仪，也认为大地就是一块圆饼，但是古代的人还是以为地是方的。
因为，古代的数学家，就用割圆术，来算圆周率的。
“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。
祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。
祖冲之，已经知道无限逼近的概念了，其实《道德经》也有大方无隅的说法。
度过武侠小说的人，也知道方圆数十里的概念吧。
如果，到了这个时候，还是继续硬要说古人只知道地是方的，那也是服了。
当然，天圆地方，还有这样的含义，就是特性，天体的特性是圆形的，如圆规；而丈量土地，在大地上生活，必须用到矩尺，不然就无法丈量，不知道高矮胖瘦。
也不知道如此建造房屋，制造工具，延伸而言，还不知道东西物件的轻重，这样子的话，对整个社会是很不便利的。
所以天圆地方，就是伏羲女娲手上的那把矩尺和圆规。
并不代表古人就是低智商的，更不能说明古人的思维就是方形的，花岗岩脑袋。
其实，西方的哲学家也说过，人生就是一个走向死亡的过程。
现代科学研究认为，人体的细胞，每天都在新陈代谢，分裂新的细胞，把老化的细胞替代掉，这样子，人的身体每天也会死很多细胞的。
如此说来，是不是要说，现代科学家认为人活着就是死亡，就是一个活死人。
同时，古代的人是知道有大海的，所以有四海之内皆朋友的说法，也有海内海外的说法。
不管怎么样，古人就认为地是方的
天圆地方是怎么来的？
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“古人以为天圆地方，亦以圆方作天地的代称”（<<辞源>>）
圆，是中国道家通变、趋时的学问；方，是中国儒家人格修养的理想境界：“智欲其圆道，行欲其方正”。圆方互容，儒道互补，构成了中国传统文化的主体精神。
圆和方，是最基本的几何图形、图形有柔和圆满之美，方形有工整方正之美，圆和方，体现了刚与柔的完美结合。
“圆方”的意念清晰但意义深邃的，还寓意其以高科技立业，汲取世界最新级技术的精华，扎根于中国国情的土壤，凭着不懈的努力，东西互融，步步进取，成为业内的主流。
圆方的标志图形，意念源自“苍天如图盖，大地如棋局” （<<三国志>>）。取棋局的象形，表现圆方长远的、有计划的发展策略；借内嵌“天圆地方”四字深邃的内涵，寓意圆方在不断的追求完美的过程中，赋予论坛恒久的生命力，
术界趋于一致的看法是，与《天圆地方》这一古代的朴素哲学理念有关。
天圆地方所指，不是简单的把天看成是圆型，把地看成是方型。而是一种道的理念。即天道圆，地道方。天为阳，地为阴。天地有别，阴阳不同，圆方各异。阴阳相依。而道又自古以来是华夏土生土长的教。
关于宇宙结构的学说，汉代出现了浑天说与盖天说的争论。在秦汉之前，盖天说比较盛行。自古以来，人们看见苍天笼罩着大地，产生了天圆地方的盖天说，而春秋时的曾参就曾提出疑问：“天圆而地方，则是四角之不揜也。”后来盖天说又认为天不与地相接，而像圆顶凉亭那样由八根柱子支撑着。诗人屈原曾问道：“斡维焉系，天极焉加，八柱何当，东南何亏。”公元前一世纪成书的《周髀算经》中提出“天象盖笠、地法复盘”的新盖天说，认为天在上，地在下，天地相盖，二者都是圆拱形，中间相距八万里，日月星辰随天盖旋转，近见远不见，形成了昼夜四季变化。
天好象圆顶帐篷盖在地上。居住在塞外草原上的牧民，极目四望，得到的就是这种印象。
不仅是中国人，居住在世界各处的人们，最初都有过类似的错觉，因为都是仅凭直观感觉来认识周围的事物。古代中国的学者，把人们这种天笼罩着地的感觉，概括成“天圆地方”的理念，但他们一直未能作出清楚的解释，甚至这“圆”与“方”是否表示形象，也没有确定的说法。中国古代的学术不看重对自然本身的探求，而是着重在用自己对自然现象的感受去附会解释人事。公元前三世纪，吕不韦主持编成的《吕氏春秋》中，将天圆地方解释为：“天道圜(圆)，地道方，圣王法之，所以立上下(上君下臣)”。 “天尊地卑，乾坤定矣。卑高以陈，贵贱位矣。(韩康伯注：天尊地卑之义既列，则涉乎万物之位明矣)”。用天高地卑来证明，在下者应当服从在上者的统治，是人们必需遵守的公理。北京天坛祈年殿的建筑[标题右侧图像]就是按照这种原则精神修造的（上右图）。高38米的祈年殿分三层，覆盖着蓝色的琉璃瓦，逐层向上收缩，表示与天相连接，在人间只有皇帝是天之子，才可以与天沟通，这建筑就是为了他祭天而修造的。*吕不韦，前249-237年时任秦国的相国。前246年秦始皇始登王位，年幼，大权操在不韦手中近十年，是秦统一中国的奠基人之一。
谢谢观看，